Como (quase) toda boa resposta no âmbito do Direito, eu digo que depende e explico.

De acordo com o princípio da solidariedade familiar, já mencionado em post anterior, os parentes devem contribuir para o sustento uns dos outros. Então, poderíamos pensar nessa hipótese de, por exemplo, na falta do pagamento dos alimentos pelo pai da criança, deve-se cobrar tal valor dos avós?

Acontece que, de acordo com o entendimento do Superior Tribunal de Justiça, a responsabilidade alimentar dos avós da criança é subsidiária e não sucessiva. De modo que deve ser provada a incapacidade de os pais custearem as despesas dos seus filhos antes de serem chamados os avós para suprir.

Assim, em se tratando de pai vivo, os avós podem custear as despesas da criança no lugar dele, inclusive habilitando-a como dependente para fins previdenciários, caso detenham a sua guarda.

Porém, na hipótese de o pai da criança ter falecido, tem-se que não é automática essa substituição do genitor pelos avós da criança. Primeiramente, com o falecimento, quem passa a dever alimentos é o espólio do de cujus - ou seja, todo o conjunto de bens deixados pelo falecido responde por essa dívida e não os avós.

No entanto, se não houver bens ou renda proveniente desses bens e a mãe da criança não possuir condições de, sozinha, manter seu filho, passa-se para a classe seguinte de familiares, que são os avós.

A minha ressalva, nesse ponto, é que ao se chamar essa próxima classe, o chamamento não deve ser apenas dos avós paternos, levando-se em conta o exemplo utilizado, mas todos os avós, tanto paternos quanto maternos, devendo a obrigação alimentar ser dividida pelos quatro (caso sejam todos vivos), cada um na proporção de seus rendimentos.